Hubble 级数：收敛性质与红移变量

在宇宙制图学、宇宙运动学和宇宙学中，经常遇到物理量被展开为宇宙学红移 $z$ 的 Taylor 级数。这种现象最著名的例子或许是距离与红移之间的 Hubble 关系。然而，我们现在拥有大量的高 $z$ 数据，例如至少回溯到红移 $z=1.75$ 的超新星数据。这引发了一个理论问题：Hubble 级数（或更一般地，任何基于 $z$-红移的级数展开）在大红移下是否真的收敛？基于数学和物理推理的结合，我们认为任何 $z$ 级数展开的收敛半径小于或等于 1，且基于 $z$ 的展开必须在 $z>1$ 时失效，这对应于宇宙尺寸小于当前尺寸的一半。此外，我们将从理论角度论证改进参数化 $y=z/(1+z)$ 的实用性。就 $y$-红移而言，我们再次认为任何 $y$ 级数展开的收敛半径小于或等于 1，因此基于 $y$ 的展开可能一直良好地适用于回溯到大爆炸 $y=1$ 的情况，但基于 $y$ 的展开必须在 $y<-1$ 时失效，这现在对应于宇宙尺寸大于当前尺寸的两倍。