用于可压缩流不确定性量化的 $hp$ 多层蒙特卡洛方法

我们提出了一种新颖的 $hp$-多层蒙特卡洛方法，用于量化可压缩 Navier-Stokes 方程中的不确定性，采用间断 Galerkin 方法作为确定性求解器。该多层方法利用一致加密网格的层次结构，同时提高 ansatz 空间的多项式次数。它允许在物理空间中有非常大范围的分辨率，从而有效地降低统计误差。我们证明，以预设精度计算平均场的 $hp$-多层蒙特卡洛方法的整体复杂度，在最佳情形下相对于精度为二阶。我们还提出了一种新颖且简单的方法来估计每层最优样本数的下置信界，有助于防止对这些量的过高估计。该方法特别设计用于基于队列的计算系统，在这类系统上希望在一次迭代中计算大量样本而不高估最优样本数。我们的理论结果通过二维可压缩 Navier-Stokes 方程的数值实验得到验证。特别地，我们考虑了计算声学中的一个腔体流问题，表明该方法适用于处理复杂工程问题。