混沌/有序边界的黏性如何

在具有分割相空间的动力系统中，规则区域与混沌区域之间边界的邻近区域常常是“黏性的”，即把来自混沌区域的轨道长时间捕获。在此，我们研究最简单蘑菇台球中的黏性，其具有光滑的此类边界，但行为却惊人地微妙。作为黏性的度量，我们研究 P(t)，即在帽的混沌部分给定均匀初始条件下，停留在蘑菇帽中至少时间 t 的概率。黏性通过 rho = (2/\pi) arccos r 的丢番图性质敏感依赖于茎半径 r。几乎所有 rho 产生边际不稳定周期轨道（MUPOs）族，其中 P(t) ~ C/t，主导边界的黏性。此处我们考虑 rho 无 MUPO 且具有有界部分商的连分数展开的情形。我们证明 t^2 P(t) 有界，并在比值至少为 32/27 的值之间无限次变化。当 rho 具有最终周期连分数展开，即二次无理数时，t^2 P(t) 收敛于对数周期函数。一般而言，我们预期较不规则的行为，其上下指数介于 1 和 2 之间。该结果可能阐明环形台球和一般保面积映射中边界黏性的参数依赖性。