多少方向能确定一个形状及两种拓扑变换的其他充分性结果

在本文中，我们考虑了应用拓扑学中流行的两种拓扑变换：持续同调变换 (PHT) 和欧拉示性数变换 (ECT)。这两种变换因其数学性质及其在科学和工程中的应用而备受关注，因为它们提供了一种以拓扑且定量的方式总结形状的方法。这两种变换均接收一个被视为 $\mathbb{R}^d$ 的驯顺子集 $M$ 的形状，并为每个方向 $v\in S^{d-1}$ 关联一个通过沿方向 $v$ 扫描 $M$ 获得的形状摘要。这些形状摘要要么是持续图，要么是称为欧拉曲线的分段常值整数值函数。通过使用 Schapira 的反演定理，我们证明了这两种变换在形状空间上是单射的，即每个形状都有唯一的变换。此外，我们证明了这些变换确定了从球面到配备任意 Wasserstein $p$-距离的持续图空间，或配备特定 $L^p$ 范数的欧拉曲线空间的连续映射。利用由超平面划分诱导的球面上的分层空间结构，我们证明了关于欧拉曲线空间上分布的额外唯一性结果。最后，我们的主要结果证明了，在具有合理几何界限的某不可数 PL 嵌入形状空间中，任意形状均可仅用有限多个方向唯一确定。