内部 DLA 遗忘其初始构型需要多长时间？

内部 DLA 是运动界面的一个离散模型。在柱图 $\mathbb{Z}_N \times \mathbb{Z}$ 上，一个粒子在 $\mathbb{Z}_N \times \{0\}$ 上均匀起始，并在柱图上执行简单随机游走，直到到达 $\mathbb{Z}_N \times \mathbb{Z}_{\geq 0}$ 中一个未被占据的位点，并永远占据该位点。这一操作定义了柱图子集上的一个马尔可夫链。我们首先证明一个典型子集是矩形的，且具有至多对数级别的波动。我们利用这一点证明，从不同的典型子集出发的两个内部 DLA 链，可以通过添加阶为 $N^2 \log N$ 的粒子以高概率耦合。对于下界，我们证明至少需要阶为 $N^2$ 的粒子才能遗忘该过程是从两个独立典型子集中的哪一个开始的。