有限 Heisenberg 群中水平 Kakeya 最大算子：精确指数与应用

我们研究有限 Heisenberg 群 $\mathbb H_n(\mathbb F_q)$ 上与水平线相关的 Kakeya 最大算子。对于仅由射影水平方向参数化的算子，我们证明投影到 $\mathbb F_q^{2n}$ 可将问题归约到仿射有限域 Kakeya 最大算子，确定所有 $n$ 以及所有 $1 \le u,v \le \infty$ 的精确 $\ell^u \to \ell^v$ 增长指数。随后我们引入一种改进方向算子，同时记录水平线的中心斜率。在 $\mathbb H_1(\mathbb F_q)$ 中，我们证明锋利的 $\ell^2 \to \\ell^2$ 估计 $[\|M_{\mathbb H_1}^{\mathrm{rd}}F\|_{\ell^2(D_1)} \lesssim q^{1/2}\|F\|_{\ell^2(\mathbb H_1(\mathbb F_q))}$，推导出精确的混合范数指数公式，并获得水平 Heisenberg Kakeya 集的下界（给定预定义方向）。该论证纯粹基于傅里叶分析，不使用多项式方法。本文将就仿射 Kakeya 问题在 $\mathbb{F}_q^3$ 中的新方法展开展望讨论。