Horizon Data: 一般虚无超曲面的存在性结果与近视程度方程

在时空 $(\mathcal{M},g)$ 中，视界是满足特定限制条件的虚无超曲面，其中 deformation tensor $\mathcal{K}:=\pounds_{\eta}g$ 由虚无且切向向量 $\eta$ 定义。本文发展了一种用于研究一般视界几何的形式化方法（即由任何 $\mathcal{K}$ 特征化的视界），通过对离开任何宿主时空的虚无超曲面上 $\mathcal{K}$ 的零阶与一阶横向导数进行编码来实现。我们引入了 "$\mathcal{K}$-tuple" 和 "$non-isolation tensor$" 的概念。前者编码 $\mathcal{K}$ 的零阶，后者是一个对称的 2-协变张量，用来编码视界的 "$degree of isolation$"。具体而言，对于 homothetic、Killing 和 isolated 视界，non-isolation tensor 为零。作为应用，我们推导了一个 "$generalized near-horizon equation$"，即一个在任何视界上（无论其拓扑结构或是否包含固定点）都成立的恒等式，将 non-isolation tensor、某个挠度一形式与曲率项联系起来。通过将该方程限制到�截面，可恢复 isolated 视界的近视程度方程和 multiple Killing 视界的 master 方程。我们的形式化方法使我们能够证明两个视界的存在性定理。具体而言，我们确立了非退化全测地视界具有任意给定 non-isolation tensor 可嵌入满足任意（不一定是 $\Lambda$-vacuum）场方程式的必要且充分条件。我们首先处理任意拓扑的情况，然后展示当视界 admits cross-section 时，结果如何加强。