DG 代数的 Hirzebruch-Riemann-Roch 定理

对于任意真 DG 代数 A（即具有有限维总上同调的 DG 代数），我们在 A 的 Hochschild 同调上引入一个配对，并给出了任意完美 A-模的 Chern 型特征的显式公式（Chern 特征取值于 A 的 Hochschild 同调）。在此背景下的 Hirzebruch-Riemann-Roch 公式用两个完美 A-模的 Chern 特征的配对表达了它们之间 Hom-复形的欧拉示性数。我们提到了真 DG 代数的两个例子及其对应的 HRR 公式。第一个例子是带关系的箭图的 Ringel 公式。第二个例子与形如 V/G 的轨形奇点有关，其中 V 是复向量空间，G 是 SL(V) 的有限子群。此外，我们证明了当 DG 代数是光滑的时，上述 Hochschild 同调上的配对是非退化的。我们还提出了一个猜想：对于 Calabi-Yau DG 代数 A，该配对与由关联于 A 的拓扑场论导出的配对一致，并在 Frobenius 代数的情形下验证了该猜想。