扭曲的 $\mathbb{T}^4$ 上的高阶玻色子凝聚态：半经典之始

我们计算了在四维小扭曲 torus $\mathbb{T}^4$ 上的 SU(N) 超 Yang-Mills 理论中，受 't Hooft 扭曲边界条件限制下的玻色子凝聚态 $\left\langle \prod_{i=1}^k \text{tr}(\lambda\lambda)(x_i) \right\rangle$，其中 $1 \leq k \leq N-1$。两个最新进展对于完成计算并解释结果至关重要：关于包含 1 型中心对称性的广义异常的理解，以及在扭曲的 $\mathbb{T}^4$ 上构建多分数即时力子的构造。这些自双曲的经典配置具有拓扑电荷 $k/N$，可描述为即时液体中 k 个紧密排列的块的和。运用路径积分形式，我们在半经典极限下进行凝聚态计算，发现在假设 gcd$(k,N)=1$ 时，$\left\langle \prod_{i=1}^k \text{tr}(\lambda\lambda)(x_i) \right\rangle = {\bf n}^{-1} \; N^2\left(16\pi^2 \Lambda^3\right)^k$，其中 $\Lambda$ 为强耦合尺度，${\bf n}$ 为归一化常数。我们通过路径积分确定归一化常数 ${\bf n} = N^2$，其是该先前 publication (arXiv:2210.13568) 中使用的归一化的 N 倍。这一发现解决了该文中遇到的额外 N 倍偏差，使我们的计算结果与在 $\mathbb{R}^4$ 上通过直接超对称方法获得的结果相吻合。归一化常数 ${\bf n}$ 可在欧几里得路径积分框架中理解为 Witten 指数 $I_W$。从哈密顿量方法来看，已知 $I_W = N$。尽管归一化常数 ${\bf n} = N^2$ 正确地再现了凝聚态结果，但哈密顿量和路径积分表述之间的这一差异需要进一步解释。我们尝试在讨论中提供一种可能的解决方案。