任意脉冲星集的 Hellings 与 Downs 关联

脉冲星计时阵列（PTA）通过引力波（GW）在不同脉冲星脉冲到达时间中诱导的关联来探测引力波。我们假设引力波由高斯系综描述。作为两脉冲星方向间夹角 $\gamma$ 函数的平均关联 $h^2 \mu_{\rm u}(\gamma)$ 由 Hellings 与 Downs（HD）于 1983 年预言。该关联的方差异 $\sigma^2_{\rm tot}(\gamma)$ 最近由 Allen[11] 对夹角为 $\gamma$ 的单个无噪声脉冲星对算出，表明在对多对平均后，方差缩减为内禀宇宙方差 $\sigma^2_{\rm cos}(\gamma)$。在此，我们将此推广到位于特定天区位置的任意脉冲星集，脉冲星对按 $\gamma$ 分箱。我们推导出脉冲星对关联的线性组合，它是每个箱中 HD 关联的最优估计量，并以三个活跃 PTA 合作组监测的脉冲星集为例，绘出偏离 HD 曲线的预期变化范围以阐明我们的方法。我们计算了这些分箱估计量的方差与协方差，并表明在脉冲星数目很多的极限下它们分别缩减为宇宙方差与协方差 $s(\gamma,\gamma')$。偏离 HD 曲线 $\mu_{\rm u}(\gamma)$ 的可能涨落在 $\mu_{\rm u}(\gamma)$ 依次为正、负、正的三个角区域中呈强相关/反相关。我们还构造了平方应变 $h^2$ 的最优估计量。当脉冲星对极多时，由于 PTA 探测无限组引力波模式，该估计量能以任意精度确定 $h^2$。为评估对 HD 曲线的观测偏离，我们刻画了若干 $\chi^2$ 拟合优度统计量。我们也展示了如何纳入脉冲星噪声与测量噪声。