调和延拓技术：概率与分析视角

考虑半平面 $\{y \ge 0\}$ 上的反射布朗运动路径，并擦除其包含在内部 $\{y > 0\}$ 中的部分。在适当的意义上，剩下的是直线 $\{y = 0\}$ 上的跳跃型随机过程路径——反射布朗运动的边界迹。众所周知，该过程实际上是 1-稳定 Lévy 过程，也称为 Cauchy 过程。上述事实的偏微分方程（PDE）解释如下。考虑半平面 $\{y > 0\}$ 中的有界调和函数 $u$，其具有足够光滑的边界值 $f$。设 $g$ 表示 $u$ 在边界处的法向导数。映射 $f \mapsto g$ 被称为 Dirichlet-to-Neumann 算子，同样众所周知，该算子与一维 Laplace 算子 $-\Delta$ 的平方根一致。因此，Dirichlet-to-Neumann 算子与边界迹过程的生成元一致。Molchanov 和 Ostrovskii 证明了各向同性稳定 Lévy 过程是半空间中适当扩散过程的边界迹。Caffarelli 和 Silvestre 给出了该结果的 PDE 对应：分数阶 Laplace 算子是半空间中适当二阶椭圆方程的 Dirichlet-to-Neumann 算子。同样，Dirichlet-to-Neumann 算子结果是边界迹过程的生成元。在报告中，我将讨论更一般背景下的边界迹过程和 Dirichlet-to-Neumann 算子。我的主要目标是解释概率结果与分析结果之间的联系。在此过程中，我将介绍必要的工具：布朗局部时与可加泛函、Krein 弦的谱理论以及傅里叶变换方法。