基于双正交拉普拉斯算子对有向网络的谐波分析：针对非正规有向图

谱图信号处理传统上建立在自伴拉普拉斯算子之上，在这种情况下，正交特征基构成能量守恒的傅里叶变换，并通过实 Dirichlet 形式实现变分频率排序。有向网络打破自伴性：组合有向拉普拉斯算子 $L=D_{\mathrm{out}}-A$ 通常为非正规矩阵，特征向量非正交，经典的 Parseval 恒等式和 Rayleigh 商排序不再适用。本文发展了一种面向有向图的拉普拉斯中心的谐波分析方法，在代数层面保持精确性，同时显式量化因非正规性引起的几何畸变。我们（i）定义了基于双左/右特征基的 $L$ 的双正交图形傅里叶变换（BGFT），并证明顶点能量等于 BGFT 坐标下范数二次型；（ii）引入有向变分半范数 $TV_{\mathcal{G}}(x)=\|Lx\|_2^2$，并证明其 BGFT 域下的尖锐双侧界由特征向量矩阵的奇异值控制；（iii）推导了采样与重构的保证，并给出显式稳定常数，以分离采样集合的信噪性与特征向量几何。最后，我们提供了可复现的仿真结果，将正常有向循环与扰动非正规有向图进行比较，表明滤波和重构的鲁棒性随 $\kappa(V)$ 以及 Henrici 畸变程度 $\Delta(L)$ 而变化，验证了理论预测。