大 $N$ Majorana 量子力学中的 Hagedorn 温度

我们讨论两类耦合大量 Majorana 费米子且具有正交对称群的量子力学模型。在矢量型模型中，仅其中一个对称群具有大秩。取大 $N$ 极限时保持 $gN=\lambda$ 固定，其中 $g$ 乘以四次哈密顿量。我们引入一个具有 $O(N)\times SO(4)$ 对称性的简单模型，其能量用对称群的二次 Casimir 表示。该模型可形变使对称性为 $O(N)\times O(2)^2$，且哈密顿量约化为 arXiv:1802.10263 中所研究者。我们求得大 $N$ 态密度与自由能的解析表达式。在两矢量模型中，大 $N$ 态密度在很宽能量范围内近似按 $e^{-|E|/\lambda}$ 变化。这在温度接近 Hagedorn 温度 $T_{\rm H} = \lambda$ 时产生临界行为。在形式大 $N$ 极限下，比热以 $(T_H- T)^{-2}$ 发散，意味着 $T_H$ 为极限温度。然而，在任意有限 $N$ 下，可达到任意高温度。因此，有限 $N$ 效应抹平了 Hagedorn 相变。我们还研究矩阵型模型，其具有两个大秩的 $O(N)$ 对称群。Majorana 矩阵模型（具 $O(N)^2\times O(2)$ 对称性，见于 arXiv:1802.10263）即为一例。与矢量模型相反，其态密度在谱中部附近平滑且近高斯。