区间上具有正度量平均维数的Hölder连续映射

固定一个具有有限拓扑维数的紧度量空间 $X$。令 $C^{0}(X)$ 为 $X$ 上连续映射的空间，$H^{\alpha}(X)$ 为 $X$ 上 $\alpha$-Hölder连续映射的空间，其中 $\alpha\in (0,1]$。$H^{1}(X)$ 是 $X$ 上Lipschitz连续映射的空间。我们有 $$H^{1}(X)\subset H^{\beta}(X) \subset H^{\alpha}(X) \subset C^{0}(X),\quad\text{ 其中 }0<\alpha<\beta<1.$$ 众所周知，若 $\phi\in H^{1}(X)$，则 $\phi$ 的度量平均维数等于零。另一方面，若 $X$ 是有限维紧流形，则 $C^{0}(X)$ 包含一个剩余子集，其元素具有正度量平均维数。本文中我们将证明，对任意 $\alpha\in (0,1)$，存在 $\phi\in H^{\alpha}([0,1])$ 具有正度量平均维数。