带符号调和和及Thue–Morse序列的贪心逼近

给定实数$\tau$，我们研究用带符号调和和$\sigma_N(\tau) := \sum_{n \leq N}{s_n(\tau)}/n$对$\tau$的逼近，其中符号序列$(s_N(\tau))_{N \in\mathbb{N}}$通过“贪心”方式定义：若$\sigma_N(\tau) \leq \tau$则置$s_{N+1}(\tau) := +1$，否则置$s_{N+1}(\tau) := -1$。确切地，我们计算序列$(\sigma_N(\tau)-\tau)_{N \in \mathbb{N}}$的极限点与衰减率。此外，我们给出符号序列$(s_N(\tau))_{N\in\mathbb{N}}$行为的准确描述，突显了其与Thue–Morse序列的惊人联系。