Kei图及其直径

一个定义在 $[n]$ 上的 kei 可视为一组映射 $(f_x)_{x \in [n]}$，其中每个 $f_x$ 是 $[n]$ 上的一个对合，满足对所有 $x$ 有 $(x)f_x = x$，且对所有 $x$ 和 $y$ 有 $f_{(x)f_y} = f_yf_xf_y$。我们可以将 kei 视为 $[n]$ 上的无环、边着色多重图，其中当且仅当 $(x)f_y = z$ 时，$x$ 和 $z$ 之间存在一条颜色为 $y$ 的边；本文证明，在此类图中，任何直径为 $d$ 的分支必须至少有 $2^d$ 个顶点，并包含至少 $2^{d-1}$ 条相同颜色的边。我们还证明，对于每个 $d$ 值，这些界都是紧的。