广义 Mittag-Leffler 函数及其逆函数的全局 Pad\'e 逼近

本文提出了广义 Mittag-Leffler 函数 $E_{\alpha,\beta}(-x)$（其中 $x\in[0,+\infty)$）的全局 Pad\'e 逼近。该一致逼近既能涵盖小宗量时的 Taylor 级数，也能涵盖大宗量时的渐近级数。基于函数 $E_{\alpha,\beta}(-x)$ 的完全单调性，我们分别针对 $\{0<\alpha<1, \beta>\alpha\}$、$\{0<\alpha=\beta<1\}$ 和 $\{\alpha=1, \beta>1\}$ 这三种特例，推导出了 [1/2] 阶全局 Pad\'e 逼近。此外，通过对这些逼近进行求逆，得到了逆广义 Mittag-Leffler 函数 $-L_{\alpha,\beta}(x)$（其中 $x\in(0,1/\Gamma(\beta)]$）的全局 Pad\'e 逼近。我们还提供了若干选取特定 $\alpha$ 和 $\beta$ 值的算例，以计算逼近的相对误差。最后，我们指出了所建立的逼近在 Riemann-Liouville 意义下的常微分和偏时间分数阶微分方程中的潜在应用。