涉及并集凸集的可行性问题中投影方法的全局收敛与加速

我们证明了经典投影算法在涉及并集凸集（即可表示为有限个闭凸集之并的集合）的可行性问题上的全局收敛性。我们通过研究由有限个紧值上半连续映射之并构成的多值算子的不动点迭代，提出了一种分析全局收敛的统一策略。该广义框架允许分析一类近端算法，用于最小化分段光滑函数与有限个弱凸函数的逐点最小值和分段光滑凸函数之差的和。当应用于两集可行性问题时，该类算法将交替投影与平均投影作为特例恢复，从而我们得到了这些投影算法的全局收敛准则。利用这些一般结果，我们推导了保证若干投影算法求解稀疏仿射可行性问题及线性互补问题可行性重构的全局收敛的充分条件。值得注意的是，对于涉及 P-矩阵的线性互补问题，我们得到了交替投影与平均投影方法到解集的全局收敛性。通过利用所考虑问题类的结构，我们还提出了具有保证全局收敛性的加速算法。数值结果进一步表明，所提加速方案在效率上显著优于其非加速对应方案。