用于求解具有经典边界条件的流形上椭圆型偏微分方程的虚点扩散映射
数值分析
2021-03-18 v3 数值分析
摘要
在本文中，我们扩展了核方法类，即所谓的扩散映射（DM）及其局部核变体，以近似定义在光滑有界流形上的二阶微分算子，这些算子自然出现在椭圆型偏微分方程模型中。为实现这一目标，我们在扩展流形上引入了虚点扩散映射（GPDM）估计量，该扩展流形由未知原始流形上的点云集合以及在边界采样点处沿估计切向指定的虚点集合共同确定。所得的 GPDM 估计量将标准 DM 矩阵限制于一组外推方程，用以估计虚点处的函数值。这一调整类似于在平坦区域上求解偏微分方程的有限差分格式中的经典虚点法。与在边界附近发散的经典 DM 不同，所提出的 GPDM 估计量即使在边界附近也能逐点收敛。将一致的 GPDM 估计量应用于求解具有经典边界条件（Dirichlet、Neumann 和 Robin）的适定椭圆型偏微分方程，我们在适当的光滑性假设下建立了近似解的收敛性。我们在嵌入欧几里得空间的简单子流形以及未知流形上定义的各类问题上，对所提出的无网格偏微分方程求解器进行了数值验证。在数值上，我们还发现与 DM 相比，GPDM 在求解有界光滑流形上的椭圆型特征值问题时更为精确。
引用
@article{arxiv.2006.04002,
title = {Ghost Point Diffusion Maps for solving elliptic PDE's on Manifolds with Classical Boundary Conditions},
author = {Shixiao W. Jiang and John Harlim},
journal= {arXiv preprint arXiv:2006.04002},
year = {2021}
}
备注
19 figures