源自椭圆边值问题的地质统计学：Green 算子、传输条件与 Schur 补

经典地质统计学通过在欧氏域上指定变异函数或协方差核来编码空间依赖性，而 SPDE--GMRF 范式通过椭圆精度算子（其逆为相应的 Green 算子）指定高斯场。我们发展了有界域和具有内部界面的流形上高斯空间随机场的基于算子的表述，将边界和传输条件作为统计模型的显式分量处理。从强制二次能量泛函出发，变分理论给出了精确的精度-协方差对应关系，并表明变异函数是 Green 算子的导出二次泛函，因此依赖于边界条件和域几何。条件作用和克里金遵循协方差和精度形式的标准高斯更新恒等式，其中硬约束等价地由精确插值约束或分布源项表示。界面通过表面惩罚项建模；取变分产生通量跳跃传输条件，并引起跨界面协方差的可控衰减。最后，边界驱动的预测和域约简通过 Dirichlet-to-Neumann 算子和 Schur 补来表述，为升尺度、支持度变化和子域到边界映射提供了算子语言。在整个过程中，我们使用空间统计学和椭圆 PDE 理论中的标准工具，以在协方差建模和预测中保持边界和界面效应的显式性。