具有有限维李代数的物理系统的保几何数值方法

我们提出一种几何积分器来数值逼近李系统的流。关键在于一种新流程：通过李群作用，在一般流形上与李系统内在关联的李群上积分李系统，再由李群上的李系统解生成流形上李系统的离散解。在李群上积分李系统的一个主要结果是能够同时求解流形上所有关联的李系统，且李群上的李系统可通过正规形的一阶线性齐次常微分方程（ODE）系统描述。这带来诸多优势，因为求解线性 ODE 系统数值代价更小。具体而言，我们在李群上使用两类旨在保持其几何结构的数值格式：第一类基于 Magnus 展开，第二类基于 Runge-Kutta-Munthe-Kaas（RKMK）方法。此外，由于上述作用关联了李群与李系统演化的流形，所得积分器保持了后者的任意几何结构。我们比较了这两类方法在具有几何不变量的李系统（特别是一类弯曲空间上的李系统）上的表现。我们还展示了该方法在描述长期行为及对于解几何特征高度依赖初值条件的微分方程时的优越性。如前所述，我们的里程碑在于表明：与非几何数值方法相比，所提方法能非常忠实地保持所有几何不变量。