量子可观测量几何与小系统热力学

遍历性概念——即可观测量时间平均值收敛于其系综平均值——是热力学的基石。从可预测的可积行为到遍历性的转变是最难处理的物理现象之一，著名的 KAM 定理便是典型例子。本文基于这样一个观察：对于许多经典和量子可观测量，时间平均的系综方差与时间方差的系综平均之和，在可积性 - 遍历性转变过程中保持恒定。我们表明，这一性质诱导了量子可观测量的一种特定几何结构——Frobenius 几何（也称为 Hilbert-Schmidt 几何）——它自然地编码了与遍历性涌现相关的所有现象：本征态热化效应、逆参与比的降低以及运动积分的消失。作为应用，我们利用这种几何结构解决了一个已知问题，即优化守恒量集合（无论其源于对称性还是有限尺寸效应），以便将其纳入可积、近可积或介观系统的扩展热力学理论中。