广义 Lagrange 空间背景下可平行化流形的几何

本文研究了广义 Lagrange 空间背景下可平行化流形几何，即绝对平行（AP-）几何的推广。在此几何中定义的所有几何对象不仅是位置变量 $x$ 的函数，还依赖于方向变量 $y$。换言之，与经典 AP-几何中处理定义在流形 $M$ 上的几何对象不同，我们处理的是拉回丛 $\pi^{-1}(TM)$（即切丛 $TM$ 通过 $\pi: T M\longrightarrow M$ 的拉回）中的几何对象。在这一更广泛的背景下，涌现出许多在经典 AP-几何中没有对应物的新几何对象。我们将此类几何称为广义 AP-几何（GAP-geometry）。类比于 AP-几何，我们在 $\pi^{-1}(TM)$ 中定义了一个具有显著性质的 $d$-联络，称之为规范 $d$-联络，它是用唯一的无挠 Riemannian $d$-联络来表述的。除了这两个 $d$-联络外，还定义了另外两个 $d$-联络，即对偶 $d$-联络和对称 $d$-联络。因此，我们的空间容许十二个曲率张量（对应于所定义的四个 $d$-联络），其中三个恒为零。我们得到了九个非零曲率张量的简洁公式，它们是用规范 $d$-联络的挠率张量表示的。我们还计算了该空间容许的不同 $W$-张量。推导了 $h$-曲率张量和 $v$-曲率张量以及 $W$-张量的所有收缩。最后，挑选出了在物理应用中被证明有用的二阶对称和反对称张量。