$k$-近邻分布的几何解释

$k$-近邻累积分布函数是用于离散数据集聚类度量的指标，计算快速且高效。它们比两点相关函数提供的信息量大得多。它们与 $N$-点相关函数、空洞概率函数以及 Counts-in-Cells 之间的联系是已知的。然而，文献中尚未充分探索这些 CDF 与其他几何和拓扑空间统计量之间的联系。对于寻找最优信息量的统计量以分析第4阶段宇宙学巡天数据而言，这一理解将至关重要。我们定量探索了 $k$NN CDF 统计量的几何解释。我们建立了半径 $r$ 处的 1NN CDF 与围绕数据点的同半径球体体积之间的等价关系。我们证明了更高阶的 $k$NN CDF 等价于围绕数据点的 $\ge k$ 个球体交集的体积。我们给出了 $k$NN 互相关联合 CDF 的类似几何解释。我们进一步表明，体积或 CDF 包含了围绕数据点的球体在交集处形成的角度和弧长信息，这些信息可以通过 CDF 的导数获取。我们证明这些信息与 Germ Grain Minkowski Functionals 捕获的信息非常相似。我们使用 Fisher 分析比较了由 $k$NN CDF 和 Minkowski Functionals 构建的各种数据向量的信息量和约束能力。我们发现 CDF 及其导数与 Minkowski Functionals 具有几乎相同的信息量。然而，$k$NN CDF 的计算速度在数量级上更快。最后，我们发现 CDF 的完整形状中包含信息，因此提醒不要仅在稀疏采样的半径处使用 CDF 的值。