GenMod：一种用于带随机输入偏微分方程的谱表示的生成建模方法
机器学习
2022-11-09 v1 机器学习
摘要
我们提出了一种在解评估次数较少的情况下量化具有高维随机参数的 PDE 系统不确定性的方法。参数化 PDE 解通常基于多项式混沌展开使用谱分解来近似。对于我们考虑的系统类（即高维且解评估有限），系数由回归表述中的欠定线性系统给出。这意味着需要额外假设，例如系数向量的稀疏性，来近似解。在此，我们提出一种方法，假设系数接近于一个将低维空间映射到高维系数空间的生成模型的值域。我们的方法受到近期考察生成模型如何用于具有随机高斯测量矩阵的系统中的压缩感知工作的启发。利用 PDE 理论中有关系数衰减率的结果，我们构造了一个显式生成模型来预测多项式混沌系数的量级。我们开发的用于求解系数的算法称为 GenMod，由两个主要步骤组成。首先，我们使用正交匹配追踪预测系数符号。然后，我们假设系数相对于符号调整后的生成模型值域存在稀疏偏差。这使我们能够通过求解一个关于生成模型输入空间和稀疏向量空间的非凸优化问题来找到系数。我们对 Lipschitz 连续生成模型以及基于系数衰减率界的更具体生成模型获得了理论恢复结果。我们考察了三个高维问题，表明在所有三个例子中，生成模型方法在小样本量下优于促进稀疏性的方法。
引用
@article{arxiv.2201.12973,
title = {GenMod: A generative modeling approach for spectral representation of PDEs with random inputs},
author = {Jacqueline Wentz and Alireza Doostan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2201.12973},
year = {2022}
}