高维样本协方差矩阵广义线性谱统计及其应用

本文引入了高维样本协方差矩阵 $\bm{S}_n$ 的广义线性谱统计（GLSS），记作 $\operatorname{tr}f(\bm{S}_n)\bm{B}_n$，通过融合辅助矩阵 $\bm{B}_n$ 与测试函数 $f$，有效捕获 $\bm{S}_n$ 的不同谱特性。 在维数 $n$ 与样本量 $N$ 相当的情形下，建立了不同测试函数相关 GLSS 的联合渐近正态性，并对 $\bm{B}_n$ 及其 underlying 分布下的 mild 假设下给出。 GLSS 的收敛阶次由 $\sqrt{{N}/{\operatorname{rank}(\bm{B}_n)}}$ 决定。随后，我们提出一种基于 GLSS 的新型函数投影方法，用于检验“population-spiked”协方差矩阵特征向量的假设，展示了该方法在 spike 大小上的通用性现象。 通过各种数值实验，展示了 GLSS 及所提新方法的理论精度以及优势。