Menon-Hadamard 差集的广义构造

我们重新考察构造 Menon-Hadamard 差集的问题。1997 年，Wilson 和 Xiang 给出了一个利用 ${\mathrm{PG}}(3,q)$ 中一个 spread 与四个 Q 型射影集的组合来构造 Menon-Hadamard 差集的一般框架。他们还找到了适用于 $q=5,13,17$ 的合适 spread 与 Q 型射影集的例子。随后，Chen（1997）成功为所有奇素数幂 $q$ 找到了满足 Wilson-Xiang 构造条件的 ${\mathrm{PG}}(3,q)$ 中一个 spread 与四个 Q 型射影集。由此，他证明了对于所有奇素数幂 $q$ 均存在阶为 $4q^4$ 的 Menon-Hadamard 差集。然而，Chen 找到的 Q 型射影集的自同构不同于 Wilson 和 Xiang 构造的例子。本文中，我们首先利用“半本原”分圆类推广了 Chen 的 Q 型射影集构造。这表明满足 Wilson-Xiang 构造条件的 Q 型射影集的构造比原先认为的灵活得多。其次，我们给出了对所有奇素数幂 $q$ 在 ${\mathrm{PG}}(3,q)$ 中 spread 与 Q 型射影集的新构造，推广了 Wilson 和 Xiang 找到的例子。这解决了 Wilson-Xiang 1997 年论文第 5 节中遗留的一个开放问题。