对称张量的广义加法分解

本文讨论了对称张量的广义加法分解（GAD），即形式 $f \in \mathcal{S}_d$。从几何角度来看，GAD对应于表示位于Veronese variety 上曲率varieties 的 secant 点的操作，提供了一种紧凑且结构化的张量描述，捕捉其内在代数性质。我们提供了一种线性代数方法，用于衡量GAD的大小，并证明在某些正则性假设下，最小可达大小——即我们称之为所讨论张量的GAD秩——与适当的Catalecticant矩阵的秩相同。我们提供了一种新的显式描述，说明与GAD相关的apolar scheme 作为多项式指数级数的消元。我们表明，如果该scheme的Castelnuovo-Mumford正则性足够小，则GAD以及相关的apolar scheme 都是最小且唯一的。利用这些结果，我们开发了一个用于对称张量的数值GAD算法，有效地利用了其底层代数结构，将现有的基于特征计算的代数方法扩展到处理多个点的情形。我们通过几个例子说明了该算法的有效性和数值稳定性，包括Waring和切向分解。