Scarpis 关于阿达马矩阵的定理的推广

一个阶为 $m$ 的 $\{1,-1\}$-矩阵 $H$ 若满足 $HH^T=mI_m$，其中 $T$ 为转置算子、$I_m$ 为阶 $m$ 的单位矩阵，则称为阿达马矩阵。J. Hadamard 于 1893 年发表了关于阿达马矩阵的论文。五年后，Scarpis 展示了如何利用阶 $n=1+p$（$p\equiv 3 \pmod{4}$ 为素数）的阿达马矩阵构造阶 $pn$ 的更大的阿达马矩阵。在本注记中，我们证明 Scarpis 的构造可推广至更一般的情形，即 $p$ 被素数幂 $q$ 替代。