广义 Joyal 圆盘与 $\Theta_d$-着色的 $(d+1)$-operad

本文提出一种构造着色 $(d+1)$-operad $\mathbf{seq}_d$ 的方法，该 operad 定义在 $\mathrm{Sets}$ 中，按照 Batanin [Ba1,2] 的意义，其颜色范畴（即一元运算的范畴）为 $\Theta_d$，它是 Joyal $d$-圆盘范畴 [J]、[Be2,3] 的对偶范畴。当 $d=1$ 时，它就是 Tamarkin 的 $\Delta$-着色 2-operad $\mathbf{seq}$，在其论文 [T3] 以及 Hochschild 上链的 Deligne 猜想的解决中发挥了重要作用。我们期望对于更高的 $d$，这些 operad 为（弱）$d$-范畴语境下高阶 Deligne 猜想的解决提供关键。对于一般的 $d$，构造基于两个组合猜想，我们证明了它们对 $d=2,3$ 成立。我们引入了广义 Joyal 圆盘的概念，使得广义 Joyal $d$-圆盘的范畴容许普通范畴的奇积的类比（对于 $d=1$，广义 Joyal 圆盘是一个具有「极小」和「极大」对象的范畴）。这使得我们可以定义格路 operad [BB] 的高阶类比 $\mathcal{L}^d$，并以 $\Theta_d$ 作为一元运算的范畴。$\Theta_d$-着色的 $(d+1)$-operad $\mathbf{seq}_d$ 在对称 operad $\mathcal{L}^d$ 的去对称化中「内部」被发现。我们构造了以 Berger 完全图 operad [Be1] 的笛卡尔 $d$ 次幂的对象为标签的「块」（$\mathcal{L}^d$ 的子函子），并证明了单个块在拓扑凝聚和 dg 凝聚中的可缩性。通过这种方式，我们本质上将 McClure-Smith [MS3] 对 $d=1$ 情形的已知证明进行了升级，使得精细的论证推广到 $\Theta_d$ 的情形。然后我们证明了 $\mathbf{seq}_d$ 在拓扑凝聚和 dg 凝聚中的可缩性（对 $d=2,3$，以及对一般 $d$ 模去两个组合猜想）。