多项式势下的广义 Freud 方程与能级密度

我们研究了权函数为 $\exp[-NV(x)]$ 的正交多项式，其中 $V(x)=\sum_{k=1}^{d}a_{2k}x^{2k}/2k$ 是 $2d$ 阶多项式。我们推导了 $d=3$、4 和 5 时的广义 Freud 方程，并利用此方程获得了 $R_{\mu}=h_{\mu}/h_{\mu -1}$，其中 $h_{\mu}$ 是相应正交多项式的归一化常数。利用 Freud 方程获得了用 $R_{\mu}$ 表示的密度函数矩，并据此推导了 $N\rightarrow\infty$ 时能级密度的显式结果。