凸锥的高斯随机投影：近似运动学公式及其应用

理解几何集合随机投影的随机行为是高维概率中的一个基本问题，并在众多领域有广泛应用。本文给出了闭凸锥的高斯随机投影行为的运动学描述，类似于 [ALMT14] 中研究的随机旋转锥。形式上，设 $K$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的闭凸锥，$G\in \mathbb{R}^{m\times n}$ 为具有独立同分布 $\mathcal{N}(0,1)$ 项的高斯矩阵。我们证明 $GK\equiv \{G\mu: \mu \in K\}$ 在如下运动学意义下表现得如同 $\mathbb{R}^m$ 中统计维数为 $\min\{\delta(K),m\}$ 的随机旋转锥：对任意固定的 $\mathbb{R}^m$ 中闭凸锥 $L$，\begin{align*} &\delta(L)+\delta(K)\ll m\, \Rightarrow\, L\cap GK = \{0\} \hbox{ 以高概率成立},\ &\delta(L)+\delta(K)\gg m\, \Rightarrow\, L\cap GK \neq \{0\} \hbox{ 以高概率成立}. \end{align*} 对 $G^{-1}L\equiv \{\mu \in \mathbb{R}^n: G\mu \in L\}$ 也得到了类似的运动学描述。所述近似运动学公式的实用性与广泛适用性在统计学习、数学规划与渐近几何分析中出现的若干不同问题中得以展示。特别地，我们证明了 (i) 逻辑回归中锥约束最大似然估计量存在的新的相变，(ii) 带随机约束的确定性锥规划代价最优值的新的相变，以及 (iii) 描述随机投影凸集的子空间截面的近确定性低维行为的高斯 Dvoretzky-Milman 定理的局部版本。