用于反问题数据同化的高斯过程回归与条件 Karhunen-Loève 模型

我们提出一种模型反演算法 CKLEMAP，用于具有空间异质参数场的物理系统偏微分方程模型中的数据同化与参数估计。这些参数场使用低维条件 Karhunen-Loève 展开进行近似，该展开利用基于参数测量数据训练的高斯过程回归模型构造。随后我们同化系统状态测量值，并通过求解非线性最小二乘问题计算 CKLE 系数最大后验估计。在求解该优化问题时，我们利用与物理问题前向求解相关的线性方程组的稀疏结构高效计算向量目标的雅可比矩阵。与标准 MAP 方法相比，CKLEMAP 方法具有更好的可扩展性。在 MAP 方法中，待估计未知量数目等于数值前向模型的单元数。另一方面，在 CKLEMAP 中，未知量数目（CKLE 系数）由参数场的光滑性与测量值数量控制，且通常远小于离散化节点数，从而相对于标准 MAP 方法显著降低了计算成本。为展示其可扩展性优势，我们将 CKLEMAP 应用于 Hanford 场址二维稳态地下流模型，通过同化渗透系数与水头的合成测量值来估计渗透系数场。我们发现 CKLEMAP 的执行时间随 $N^{1.33}$ 近线性缩放，其中 $N$ 为离散化节点数，而标准 MAP 的执行时间随 $N^{2.91}$ 缩放。与标准 MAP 相比，CKLEMAP 方法在不牺牲精度的前提下改善了执行时间。