高斯相变与锥内蕴体积：拓展 Steiner 公式

凸集的内蕴体积是自然的几何量，也在应用中扮演重要角色，例如具有凸约束的线性逆问题和约束统计推断。众所周知，给定一个闭凸锥 $C\subset \mathbb{R}^d$，其锥内蕴体积在有限集 $\{0,1,...d\}$ 上确定了一个概率测度，通常记为 $\mathcal{L}(V_C)$。本文旨在为 ${\cal L}(V_C)$ 的正态近似提供 Berry-Esseen 界，这意味着对于类型为 $\mathcal{L}(V_{C_n})$ ($n\geq 1$) 的（正确归一化的）离散概率测度序列，存在一个通用的定量中心极限定理 (CLT)。该界表明，在高维极限下，应用中遇到的大多数锥内蕴体积都可以用合适的高斯分布来近似。我们的方法基于多种技术，即：(1) 闭凸锥的 Steiner 公式，(2) Stein 方法和二阶 Poincar\'e 不等式，(3) 浓度估计，以及 (4) 傅里叶分析。我们的结果明确地将许多具有凸约束的正则化线性逆问题中观察到的尖锐相变，与相关下降锥的内蕴体积的渐近高斯涨落联系起来。特别是，我们的发现完善并进一步阐明了 Amelunxen, Lotz, McCoy 和 Tropp (2014) 以及 McCoy 和 Tropp (2014) 关于锥内蕴体积的浓度及其与阈值现象联系的近期突破性发现。作为我们工作的额外成果，我们为高斯向量在闭凸集上投影长度的正态近似开发了全变差界。