规范不连续对Chern-Simons轨道磁电耦合的贡献

我们提出一种计算Chern-Simons轨道磁电耦合的新方法，通常用相位角 $\theta$ 参数化。根据先前的理论，$\theta$ 可表示为在整个布里渊区定义的Chern-Simons 3-形式（由占据的布洛赫函数定义）的3D布里渊区积分。这样的表达式仅当在整个布里渊区选择了光滑且周期的规范时才有效，即便如此，关于 $\mathbf{k}$ 空间网格密度的收敛也难以获得。为解决这个问题，我们提议放宽一个方向（比如 $k_z$ 方向）的周期性条件，从而在垂直于 $k_z$ 的2D $\mathbf{k}$ 平面上引入规范不连续。总 $\theta$ 响应于是来自3D体布里渊区上Chern-Simons 3-形式的积分以及表示为 $\mathbf{k}$ 平面上2D积分的规范不连续两部分的贡献。有时边界平面可能进一步被1D“涡旋环”划分为子区域，这对总 $\theta$ 做出第三种贡献，表示为绕涡旋环的贝里相位组合。因此总 $\theta$ 由三项组成，可表示为3D、2D和1D流形上的积分。当存在时间反演对称性且体布里渊区中的规范选择尊重此对称性时，3D和2D积分均消失；则全部贡献来自涡旋环积分，其为0或 $\pi$ 对应于3D时间反演不变绝缘体的 $\mathbb{Z}_2$ 分类。我们通过将该方法应用于具有施加交错塞曼场的Fu-Kane-Mele模型来演示。