双部图孔、度求和与哈密顿回路

图G的双部图孔数（bipartite-hole-number），记为$\widetilde\alpha(G)$，是指最小数k，使得存在整数a和b满足a+b=k+1，使得对于任意两个互不相交的子集A, B ⊆ V(G)，在A和B之间都有一条边。McDiarmid和Yolov通过扩展Dirac关于最小度和哈密顿回路的经典定理来研究双部图孔。他们表明，至少有三个顶点的图若满足$\\delta(G) \ge \widetilde\alpha(G)$，则为哈密顿图。随后，Dragani\'c, Munh\'a Correia和Sudakov证明若$\\delta \ge \widetilde\alpha(G)$，则图为 pancyclic，除非$G = K_{\\frac n2, \\frac n2}$。这扩展了McDiarmid和Yolov的结果，同时概括了Bondy关于 pancyclicity的定理。在本文中，我们证明若$2$-连通图G满足$\\sigma_2(G) \ge 2 \widetilde\alpha(G) - 1$，则G为哈密顿图；且若连通图G，则包含一条穿过所有度至少为$\widetilde\alpha(G)$的顶点的回路。上述结果均扩展了McDiarmid和Yolov的成果。作为证明pancyclicity的一步，我们表明若n顶点图G满足$\\sigma_2(G) \ge 2 \widetilde\alpha(G) - 1$，则其要么包含一个三角形，要么为$K_{\\frac n2, \\frac n2}$。最后，我们讨论了连通性与双部图孔数之间的关系。