关于彩虹连通性与强彩虹连通性的进一步难解性结果

在边着色图中，若一条路径上没有两条边颜色相同，则称该路径为\textit{彩虹}路径。若图中任意顶点对之间都存在一条彩虹路径，则称该图是\textit{彩虹连通}的。若任意顶点对之间都存在一条彩虹最短路径，则称该图是\textit{强彩虹连通}的。我们研究了判定给定边着色图是否具有彩虹连通性或强彩虹连通性这一问题的计算复杂性。这两个问题分别称为\textsc{Rainbow connectivity}和\textsc{Strong rainbow connectivity}。我们证明了对于区间外平面图以及$k \geq 3$的$k$-正则图，这两个问题仍然是$\NP$\hyp{}完全的。此前，尚无任何图类已知会使这两个问题的复杂性产生差异。我们表明，对于作为弦图子类的块图，\textsc{Rainbow connectivity}是$\NP$\hyp{}完全的，而\textsc{Strong rainbow connectivity}属于$\P$。最后，我们讨论了一些可解的特殊情况，例如表明当以树深为参数时，这两个问题均属于$\XP$。