Furstenberg-Sárközy 定理已知最佳界的最大推广

我们证明，若 $h\in \mathbb{Z}[x]$ 是一个次数 $k \geq 2$ 的多项式，使得对每个 $q\in \mathbb{N}$，$h(\mathbb{N})$ 包含 $q$ 的一个倍数（称为相交多项式），则对任意 $c<(\log((k^2+k)/2))^{-1}$，$\{1,2,\dots,N\}$ 中任何不含形如 $h(n)$（$n\in\mathbb{N}$）的非零差集的子集，其密度至多为一个依赖于 $h$ 和 $c$ 的常数乘以 $(\log N)^{-c\log\log\log\log N}$。此前这类界仅对单项式和相交二次式已知，这也是目前对原始 Furstenberg-Sárközy 定理（即 $h(n)=n^2$）已知的最佳界。相交条件是迫使多项式无差集密度衰减的必要条件，在此意义上，我们的结果是这一特定定量估计的最大推广。此外，我们证明若 $g,h\in \mathbb{Z}[x]$ 是相交的，则任何不含形如 $g(m)+h(n)$（$m,n\in\mathbb{N}$）的非零差集的集合，其密度至多为 $\exp(-c(\log N)^{\mu})$，其中 $c=c(g,h)>0$，$\mu=\mu(\text{deg}(g),\text{deg}(h))>0$，且 $\mu(2,2)=1/2$。我们在最后一节还简要讨论了三个或更多多项式之和的情形。