全动态核集

随着输入规模变得庞大，核集（coresets）——即输入的小规模且具有代表性的摘要——比以往任何时候都更具意义。若输入的一个加权子集 $C_w$ 满足任意可行解 $S$ 相对于 $C_w$ 的代价在相对于原始输入代价的 $[1 {\pm} \varepsilon]$ 范围内，则其为一个 $\varepsilon$-核集。我们给出一种非常通用的技术，用于在全动态设定（输入点可被添加或删除）下计算核集。给定一个静态 $\varepsilon$-核集算法，其运行时间为 $t(n, \varepsilon, \lambda)$ 且计算的核集大小为 $s(n, \varepsilon, \lambda)$，其中 $n$ 为输入点数量、$1{-}\lambda$ 为成功概率，我们给出一种全动态算法，以最坏情况更新时间 $O((\log n) \cdot t(s(n, \varepsilon/\log n, \lambda/n), \varepsilon/\log n, \lambda/n) )$（此界为非正式表述）计算 $\varepsilon$-核集，成功概率为 $1{-}\lambda$。我们的技术是适用于仅插入设定的合并-归约技术的全动态类比。尽管我们的空间占用为 $O(n)$，我们在自适应对手存在下工作，并证明当对手自适应时所需空间为 $\Omega(n)$。由此，我们得到用于 $k$-中位数与 $k$-均值的全动态 $\varepsilon$-核集算法，其最坏情况更新时间为 $O(\varepsilon^{-2}k^2\log^5 n \log^3 k)$、核集大小为 $O(\varepsilon^{-2}k\log n \log^2 k)$（忽略 $\log \log n$ 与 $\log(1/\varepsilon)$ 因子，并假设 $\varepsilon, \lambda = \Omega(1/$poly$(n))$）。这些是首批最坏情况更新时间为 $O($poly$(k, \log n, \varepsilon^{-1}))$ 的 $k$-中位数与 $k$-均值全动态算法。我们还给出了任意全动态 $(4 - \delta)$-近似 $k$-均值算法的更新/查询时间条件下界。