具有矩形单元的全吉尔伯特与半吉尔伯特镶嵌

我们研究了吉尔伯特 (Gilbert) 镶嵌两种不同矩形版本的射线长度分布。在全矩形版本中，线从构成泊松点过程的种子点水平（向东和向西生长的射线）或垂直（向北和向南生长的射线）延伸，每条射线在遇到另一条射线时停止。在半矩形版本中，向东和向南生长的射线不与向西和向北的射线相互作用。对于半矩形镶嵌，我们通过递归解析计算了射线长度分布的级数展开式；而对于全矩形版本，我们开发了一种基于 Zuyev 停止集理论的精确模拟技术来实现相同目标。我们证明了一个显著的事实：当半模型中的种子强度是全模型中的两倍时，两种分布的绘图看起来是相同的。鉴于其中一个模型的结果来自模拟（具有固有的采样误差），我们在探索这一巧合时对此保持了警惕。接着，我们再次利用停止集思想为半吉尔伯特模型开发了进一步的解析理论，并包含了一些新颖特征。利用我们的理论，我们获得了半吉尔伯特模型中射线长度的一阶和二阶矩的精确表达式。出于所有实际目的，这些结果可作为全吉尔伯特模型的近似值，且比 Mackissack 和 Miles 提供的近似值好得多。