从拉锯战到布朗运动增益：玩家资助随机微分博弈的显式ODE解

布朗运动增益是一族在实数轴上进行的随机微分博弈，其中玩家可自主选择消耗速率，以影响随机扩散点粒子~$X$的漂移。最终根据~$X$是趋向正无穷还是负无穷来对一名或另一名玩家进行奖励。每位玩家的净收入为获胜者的奖励减去其总消耗。我们刻画并显式计算了布朗运动增益的时间齐次马尔可夫完美纳什均衡，发现玩家期望收益的导数可解出一对耦合的常系数非线性ODE。布朗运动增益是两维玩家资助拉锯战游戏的高噪声极限，其中之一于\cite{LostPennies}中进行了研究。我们分析了离散博弈，发现它们以及布朗运动增益，都体现了拉锯战经济学文献中若干关键特征：战场区域玩家大量消耗；利益随距离战场的快速且非对称衰减；以及一种劝 discouraging 效应使均衡在激励非对称扰动下极其脆弱。拉锯战还有一个来自\cite{PSSW09}的数学文献，其通过无穷拉普拉斯PDE求解了欧几里得域中的公平硬币游戏。通过为布朗运动增益提供解析解——一种建模战略互动与资源分配的博弈——我们寻求在两大拉锯战文献之间架起桥梁。