从基于个体的随机模型到自适应动力学正则方程——一步到位

我们考虑一个无性繁殖种群中的达尔文进化模型，该种群规模大但非常数，其特征包括自然出生率、模拟竞争的 logistic 死亡率以及每次出生事件中的突变概率。在本文中，我们研究系统在大种群规模 $(K\to \infty)$、稀有突变 $(u\to 0)$ 和小突变效应 $(\sigma\to 0)$ 极限下的长期行为，证明其收敛于自适应动力学正则方程 (CEAD)。与早期工作（例如 Champagnat 和 Mélèard 的工作）相比，我们同时取这三个极限，即 $u=u_K$ 和 $\sigma=\sigma_K$ 随 $K$ 趋于零，并受限于确保出生和死亡事件的时间尺度与成功突变事件的时间尺度保持分离的条件。这减缓了微观系统的动力学，并导致了严重的技术困难，需要使用完全不同的方法。特别地，我们不能在固定所需的发散时间上使用大数定律来用相应的确定性系统近似随机系统。为了解决这个问题，我们基于耦合论证开发了一种“随机欧拉格式”，该格式允许在随 $K$ 发散的时间尺度上控制随机系统的时间演化。