从非线性 Fokker-Planck 方程到分布依赖 SDE 的解

我们构造了一类分布依赖 SDE 的弱解，其形式为 $dX(t)=b\left( X(t), \displaystyle\frac{d\mathcal{L}_{X(t)}}{dx}(X(t))\right) dt+\sigma\left( X(t),\displaystyle\frac{d\mathcal{L}_{X(t)}}{dt}(X(t))\right) dW(t)$，其中扩散矩阵 $\sigma$ 可能退化，且 $X(0)$ 具有给定律，该律关于 Lebesgue 测度 $dx$ 有密度。这里 ${\mathcal{L}}_{X(t)}$ 表示 $X(t)$ 的律。我们的方法是先求解相应的非线性 Fokker-Planck 方程，然后利用著名的叠加原理得到上述 SDE 的弱解。