从火柴堆博弈到可计算性极限

我们研究了一类所谓的不变博弈，该博弈使用固定数量 $d$ 堆火柴进行。博弈由一个有限的整数向量列表 $\mathcal{M}$ 描述，这些向量长度为 $d$，规定了合法移动。一次移动是指通过添加 $\mathcal{M}$ 中的一个向量来改变当前博弈状态，前提是结果向量的所有元素均为非负。例如，在双堆博弈中，向量 $(1,-2)$ 意味着在第一堆中增加一根火柴，并从第二堆中移除两根火柴。如果 $(1,-2) \in \mathcal{M}$，且第二堆中至少有两根火柴，则允许进行此类移动。两名玩家轮流行动，无法进行移动的玩家判负。我们证明这些博弈具有计算通用性，因此关于它们的一些基本问题是算法上不可判定的。特别是，我们证明了不存在一种算法，能够接收两个博弈 $\mathcal{M}$ 和 $\mathcal{M}'$（具有相同数量的火柴堆）作为输入，并判定它们是否等价，即其中一个博弈中所有先手必胜的起始位置在另一个博弈中是否也是先手必胜。