框架软阈值收缩算子是邻近算子

在本文中，我们证明常用的框架软阈值收缩算子（将给定向量 ${\mathbf x} \in {\mathbb R}^{N}$ 映射到向量 ${\mathbf T}^{\dagger} S_{\gamma} {\mathbf T} {\mathbf x}$）已经是一个邻近算子，因此可直接用于相应的分裂算法中。在我们的设定中，框架变换矩阵 ${\mathbf T} \in {\mathbb R}^{L \times N}$（其中 $L \ge N$）具有满秩 $N$，${\mathbf T}^{\dagger}$ 表示 ${\mathbf T}$ 的 Moore-Penrose 逆，$S_{\gamma}$ 是带阈值参数 $\gamma >0$ 的通常软阈值收缩算子。我们的结果推广了如下已知结论：若 ${\mathbf T}$ 为正交（方阵）矩阵，则 ${\mathbf T}^{*} S_{\gamma} {\mathbf T}$ 是 $\| {\mathbf T} \cdot \|_{1}$ 的邻近算子。众所周知，对于 $L > N$ 的矩形框架矩阵 ${\mathbf T}$，$\| {\mathbf T} \cdot \|_{1}$ 的邻近算子没有闭式表达，需要迭代计算。我们证明框架软阈值收缩算子 $\{{\mathbf T}^{\dagger} S_{\gamma} {\mathbf T}\}$ 同样是一个邻近算子，从而支持将其作为 $\| {\mathbf T} \cdot \|_{1}$ 精确邻近算子的替代。我们进一步解释了为何在各种应用中使用框架软阈值收缩算子仍能给出良好结果。特别地，我们给出了凸泛函 $\Phi$ 的次微分的一些性质，这些性质导出了邻近算子 ${\mathbf T}^{\dagger} S_{\gamma} {\mathbf T}$，并表明 ${\mathbf T}^{\dagger} S_{\gamma} {\mathbf T}$ 逼近 $\textrm{prox}_{\|{\mathbf T} \cdot\|_{1}}$。