四维代数环面

代数$k$-环面的双有理性质研究始于六七十年代Voskresenkii、Endo、Miyata、Colliot-Thélène和Sansuc的工作。确定给定代数$k$-环面的有理性尤为引人关注。由于代数簇的有理性问题通常困难，自然考虑弱化概念如稳定有理性或甚至收缩有理化。上述作者及后来八十年代Saltman的工作，根据其关联特征格的整表示，确定了代数环面何时为稳定有理（分别对应收缩有理）的充要条件。一个有趣的问题是问稳定有理的代数$k$-环面是否总为有理的。在一般情形，存在非有理稳定有理$k$-簇的例子。维数$r$的代数$k$-环面由GL$_r(\mathbb{Z})$的有限子群的共轭类分类至同构。这使得考察小维数代数$k$-环面的有理化问题变得自然。1967年Voskresenskii证明所有二维代数环面均为有理。1990年Kunyavskii确定了哪些三维代数环面为有理。2012年Hoshi与Yamasaki借助GAP确定了哪些四、五维代数环面为稳定（分别对应收缩）有理。他们未处理四、五维的有理性问题。本文中，我们证明所有四维稳定有理代数$k$-环面均为有理，可能例外是落入2个族的10个未定情况。我们非计算地重新证明了例外代数环面族的稳定有理性。