基于图子的随机图中子图计数的涨落

给定一个图子 $W$ 和一个顶点集为 $V(H)$ 的有限简单图 $H$，记 $X_n(H, W)$ 为在 $n$ 个顶点上的 $W$-随机图中 $H$ 的副本数。Hladk\'y、Pelekis 和 \v{S}ileikis（2021）近期在 $H$ 为团的情况下得到了 $X_n(H, W)$ 的渐近分布。本文将此结果推广到任意固定图 $H$。为此我们引入图子的 $H$-正则性概念，并证明若图子 $W$ 不是 $H$-正则的，则 $X_n(H, W)$ 具有尺度为 $n^{|V(H)|-\frac{1}{2}}$ 的高斯涨落。另一方面，若 $W$ 是 $H$-正则的，则涨落阶为 $n^{|V(H)|-1}$，且 $X_n(H, W)$ 的极限分布可同时具有高斯和非高斯分量，其中非高斯分量是一个（可能的）无限加权的中心化卡方随机变量之和，其权重由从 $W$ 导出的图子的谱性质决定。我们的证明使用了 Janson 和 Nowicki（1991）发展的广义 $U$-统计量的渐近理论。我们还研究了极限分布中高斯或非高斯分量（但非两者同时）退化的 $H$-正则图子的结构。有趣的是，也存在两者同时退化的 $H$-正则图子 $W$，即 $X_n(H, W)$ 即使在尺度 $n^{|V(H)|-1}$ 下也具有退化极限。我们以 $H=K_{1, 3}$（三星形）为例给出这种退化，并在几个例子中确立非退化性。这自然引出了关于高阶退化的有趣开放问题。