核矩阵最大特征值的波动及其在基于图子的随机图中的应用

本文探讨由 Lipschitz 核 $K$ 及 $n$ 个在 $[0,1]$ 上均匀分布的独立随机变量 $U_1,U_2,\ldots, U_n$ 构成的一般随机核矩阵 $[K(U_i,U_j)]_{1\leq i\neq j\leq n}$ 的谱性质。特别地，我们识别出核矩阵极端特征值的一个二分性：若核 $K$ 是退化的，则核矩阵的最大特征值（经适当归一化后）弱收敛于独立卡方随机变量的加权和；反之，对于非退化核，它收敛于正态分布，这扩展并强化了 Koltchinskii 和 Giné (2000) 的早期结果。进一步，我们应用该结果展示了 $W$-随机图极端特征值渐近行为的二分性，这类图在复杂网络建模和大规模图行为分析中至关重要。这些图利用一个称为图子的核 $W$，以概率 $W(U_i, U_j)$ 连接顶点 $i$ 和 $j$ 而生成。我们的结果表明，对于一个 Lipschitz 图子 $W$，若度函数为常数，则最大特征值的波动（经适当归一化后）收敛于独立卡方随机变量与一个独立正态分布的加权和；否则，它收敛于正态分布。