具有正则纤维的平坦态射不保持 $F$-合理性

对每个正素数 $p$，我们构造一个特征为 $p$ 的域 $K$ 上的标准分次 $F$-合理环 $R$，使得 $R\otimes_K\overline{K}$ 不是 $F$-合理的。通过局部化，我们得到一个平坦局部同态 $(R, \mathfrak{m}) \to (S, \mathfrak{n})$，使得 $R$ 是 $F$-合理的，$S/\mathfrak{m} S$ 是正则的（事实上是一个域），但 $S$ 不是 $F$-合理的。在此过程中，我们还得到了标准分次 $F$-合理环 $R$，使得 $R\otimes_K R$ 不是 $F$-合理的。