通过线性收缩对协方差矩阵估计量进行固定支撑正定性修正

在本工作中，我们研究协方差矩阵估计中的正定性 问题。对于高维数据，在包括稀疏性在内的真实协方差矩阵结构假设下，人们提出了许多正则化估计量。它们被证明在估计真实协方差矩阵及其结构时具有渐近一致性与速率最优性。然而，其中许多估计量未考虑估计量的正定性，从而产生非正定估计。为实现正定性，研究者考虑对特征值施加额外正则化（或约束），这使得渐近分析与计算均变得更加困难。在本文中，我们提出对正则化协方差矩阵估计量进行简单修正，使其在保持支撑的同时成为正定矩阵。我们重新审视线性收缩的思想，提出在第一阶段估计量（无正定性的正则化协方差矩阵）与给定形式的对角矩阵之间取凸组合。所提出的修正记为 FSPD（固定支撑与正定性）估计量，若收缩参数经过仔细选择，其被证明能保持第一阶段估计量的渐近性质。它具有闭式表达式且计算无需优化，这与现有的正定稀疏估计量不同。此外，FSPD 是通用的，可应用于包括精度矩阵在内的任何非正定矩阵。FSPD 估计量在数值上与其他正定稀疏估计量进行了比较，以了解其有限样本性质及计算增益。它还被应用于两个依赖协方差矩阵估计量的多元统计过程——线性极小极大分类问题与 Markowitz 投资组合优化问题——并被证明能显著提升这两个过程的性能。